Contoh Soal Fungsi Densitas

Fungsi densitas adalah salah satu konsep penting dalam statistik dan probabilitas. Fungsi ini digunakan untuk menentukan peluang suatu variabel acak berada dalam rentang tertentu. Dalam artikel ini, saya akan memberikan beberapa contoh soal fungsi densitas untuk membantu memahami konsep ini secara lebih baik.

Contoh soal pertama adalah tentang distribusi normal. Misalkan kita memiliki variabel acak X yang mengikuti distribusi normal dengan mean 10 dan simpangan baku 2. Tentukan peluang nilai X berada di antara 8 dan 12.

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita harus mencari nilai z-score untuk masing-masing batas rentang. z-score dapat dihitung menggunakan rumus z = (x – μ) / σ, di mana x adalah nilai variabel acak yang diinginkan, μ adalah mean, dan σ adalah simpangan baku. Oleh karena itu, untuk batas bawah rentang (8), z-score nya adalah z = (8 – 10) / 2 = -1, sedangkan untuk batas atas rentang (12), z-score nya adalah z = (12 – 10) / 2 = 1.

Selanjutnya, kita dapat menggunakan tabel distribusi normal standar untuk mencari peluangnya. Peluang nilai X berada di antara 8 dan 12 dapat dinyatakan sebagai P(-1 ≤ Z ≤ 1). Dari tabel distribusi normal standar, nilai ini sebesar 0,6827. Oleh karena itu, peluang nilai X berada di antara 8 dan 12 adalah sebesar 0,6827.

Contoh soal kedua adalah tentang distribusi eksponensial. Misalkan kita memiliki variabel acak X yang mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter λ = 0,5. Tentukan peluang nilai X lebih besar dari 2.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan fungsi densitas distribusi eksponensial, yaitu f(x) = λe^(-λx). Peluang nilai X lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai P(X > 2). Oleh karena itu, kita perlu menghitung integral f(x) dari 2 hingga ∞, yaitu ∫2^∞ λe^(-λx) dx.

Dengan menggunakan rumus integral, kita dapat menyederhanakan menjadi [ -e^(-λx) ] dari 2 hingga ∞, yang sama dengan [-e^(-2λ)].

Oleh karena itu, peluang nilai X lebih besar dari 2 adalah sebesar e^(-2λ), atau e^(-0,5) = 0,6065.

Contoh soal ketiga adalah tentang distribusi binomial. Misalkan kita memiliki variabel acak X yang mengikuti distribusi binomial dengan parameter n = 10 dan p = 0,6. Tentukan peluang nilai X sama dengan 5.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan fungsi densitas distribusi binomial, yaitu f(x) = (nCx) p^x (1-p)^(n-x), di mana n adalah jumlah percobaan, p adalah peluang sukses, dan x adalah jumlah sukses yang diinginkan. Peluang nilai X sama dengan 5 dapat dinyatakan sebagai P(X = 5).

Dengan meng